Question

已知数列{a_n}的各项均为正数，前n项的和S_n＝
⑴ 求{a_n}的通项公式；
⑵ 设等比数列{b_n}的首项为b，公比为2，前n项的和为T_n.若对任意n∈N^*，S_n≤T_n
均成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

(1) a_n＝2n－1(n∈N^*)．(2) b≥.

试题分析： (1) a₁＝，解得a₁＝1.
当n≥2时，由a_n＝S_n－S_n－1＝，      -2
得(a_n－a_n－1－2)(a_n＋a_n－1)＝0.
又因为a_n>0，所以a_n－a_n－1＝2.
因此{a_n}是首项为1，公差为2的等差数列，
即a_n＝2n－1(n∈N^*)．            6
(2) 因为S_n＝n²，T_n＝b(2ⁿ－1)，
所以S_n≤T_n对任意n∈N^*恒成立，
当且仅当≤对任意n∈N^*均成立．
令C_n＝，因为C_n＋1－C_n＝－＝，
所以C₁>C₂，且当n≥2时，C_n<C_n＋1.
因此≤C₂＝，即b≥.
点评：中档题，涉及数列的不等式证明问题，往往需要先求和、再证明。本题（2）通过研究数列的“单调性”，利用“放缩法”，达到证明目的。