Question

11．求arctan$\frac{1}{3}$+arctan$\frac{1}{5}$+arctan$\frac{1}{7}$+arctan$\frac{1}{8}$的值．

Answer 1

分析 设arctan$\frac{1}{3}$+arctan$\frac{1}{5}$=α，arctan$\frac{1}{7}$+arctan$\frac{1}{8}$=β，由两角和的正切公式求得tanα、tanβ 的值，可得据tan（α+β）的值，从而求得α+β的值．

解答 解：设arctan$\frac{1}{3}$+arctan$\frac{1}{5}$=α，arctan$\frac{1}{7}$+arctan$\frac{1}{8}$=β，
则tanα=$\frac{tan（arctan\frac{1}{3}）+tan（arctan\frac{1}{5}）}{1-tan（arctan\frac{1}{3}）•tan（arctan\frac{1}{5}）}$=$\frac{\frac{1}{3}+\frac{1}{5}}{1-\frac{1}{3}•\frac{1}{5}}$=$\frac{4}{7}$，∴α∈（0，$\frac{π}{4}$）．
同理求得，tanβ=$\frac{3}{11}$，β∈（0，$\frac{π}{4}$）．
再根据tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanα•tanβ}$=1，可得α+β=$\frac{π}{4}$．

点评 本题主要考查反正切函数的定义，两角和的正切公式，属于基础题．