Question

13．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，当n≥2时，S_n=2a_n．
（1）求证数列{a_n}为等比数列，并求出a_n的通项公式；
（2）设若b_n=a_n+1-1，设数列{a_n•b_n}的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）由已知得a_n=2a_n-2a_n-1，从而得到数列{a_n}是以1为首项，以2为公比的等比数列，由此能求出a_n．
（2）由a_n•b_n=$\frac{1}{2}$×4ⁿ-2^n-1，利用分组求和法能求出数列{a_n•b_n}的前n项和．

解答 解：（1）由已知，当n≥2时，S_n=2a_n，…①，S_n-1=2a_n-1，…②
①-②得：a_n=2a_n-2a_n-1，
∴a_n=2a_n-1，n≥2，∵a₁=1，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=2，
∴数列{a_n}是以1为首项，以2为公比的等比数列，
∴a_n=1×2^n-1=2^n-1．…（6分）
（2）∵b_n=a_n+1-1，∴a_n•b_n=a_n（a_n+1-1）=2^n-1（2ⁿ-1）=$\frac{1}{2}$×4ⁿ-2^n-1
∴T_n=$\frac{1}{2}$×$\frac{4（1-{4}^{n}）}{1-4}-\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$
=$\frac{2}{3}$×4ⁿ-2ⁿ+$\frac{1}{3}$．…（12分）

点评 本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用．