Question

已知α，β三次函数f（x）=

1

3

x³+

1

2

ax2+2bx（a，b∈R）的两个极值点，且α∈（0，1）β∈（1，2）求动点（a，b）所在区域的面积为（　　）

• A、

  1

  4

• B、

  1

  2

• C、1
• D、2

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,简单线性规划的应用

专题：导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：已知α，β是三次函数f（x）=

1

3

x³+

1

2

ax2+2bx的两个极值点，对f（x）进行求导，可知α，β是方程x²+ax+2b=0的两个根，根据α∈（0，1），β∈（1，2），求出可行域，利用数形结合的方法进行求解；

解答： 解：由函数f（x）=

1

3

x³+

1

2

ax2+2bx（a，b∈R）可得，
f′（x）=x²+ax+2b，
由题意知，α，β是方程x²+ax+2b=0的两个根，
且α∈（0，1），β∈（1，2），
因此得到可行域

f′(0)=2b＞0 f′(1)=1+a+2b＜0 f′(2)=4+2a+2b＞0

即

b＞0 a+2b+1＜0 a+b+2＞0

，画出可行域如图．

a+2b+1=0 a+b+2=0

的交点（-3，1）．
所以S=

1

2

×1×1=

1

2

；
故选：B．

点评：此题是一道简单的线性规划问题，利用导数研究函数的极值，根据二次函数根与系数的关系得出可行域，此题是一道中档题；