Question

已知F₁、F₂是椭圆Γ₁：

x2

m2

+

y2

m2-4

=1和双曲线Γ₂：

x2

n2

-

y2

4-n2

=1的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F₁PF₂=

π

3

，则mn的最大值为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质,椭圆的简单性质

专题：解三角形,不等式的解法及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设|PF₁|=s，|PF₂|=t，求出焦点，可得c=2，由余弦定理可得s，t的方程，再由椭圆和双曲线的定义可得m，n的关系，再由重要不等式a²+b²≥2ab，即可求得最大值．

解答： 解：设|PF₁|=s，|PF₂|=t，
由题意可得公共焦点为知F₁（-2，0），F₂（2，0），
即有c=2，
在三角形PF₁F₂中，
由余弦定理可得4c²=s²+t²-2stcos60°
即s²+t²-st=16，
由椭圆的定义可得s+t=2m（m＞0），
由双曲线的定义可得s-t=2n（n＞0），
解得s=m+n，t=m-n．
即有16=（m+n）²+（m-n）²-（m+n）（m-n）=m²+3n²≥2

3

mn，
即有mn≤

8 3

3

．
当且仅当m=

3

n，取得最大值

8 3

3

．
故答案为：

8 3

3

．

点评：本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，主要考查椭圆和双曲线的定义，同时考查三角形的余弦定理和重要不等式的运用，属于中档题．