Question

定义在R上的函数的图象关于直线x=

3

2

对称，且对任意的实数x都有f（x）=-f（x+

3

2

），f（-1）=1，f（0）=-2，则f（2013）+f（2014）+f（2015）=（　　）

• A、0
• B、-2
• C、1
• D、2

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：根据条件求出函数的周期性，利用函数的周期性以及对称轴将自变量的值进行转化，即可得到结论．

解答： 解：由f（x）=-f（x+

3

2

），得f（x+

3

2

）=-f（x），
即f（x+3）=-f（x+

3

2

）=f（x），
即函数的周期是3，
则f（2013）+f（2014）+f（2015）=f（671×3）+f（671×3+1）+f（671×3+2）
=f（0）+f（1）+f（2），
∵函数的图象关于直线x=

3

2

对称，
∴f（

3

2

+x）=f（

3

2

-x），
则f（

3

2

+

1

2

）=f（

3

2

-

1

2

），
即f（2）=f（1），
∵f（2）=f（2-3）=f（-1）=1，
∴f（0）+f（1）+f（2）=f（0）+2f（2）=-2+2=0，
故f（2013）+f（2014）+f（2015）=0，
故选：A

点评：本题主要考查函数值的计算，根据条件求出函数的周期性，利用函数奇偶性和对称性进行转化是解决本题的关键．