Question

已知双曲线

x2

3

-y²=1的左，右焦点分别为F₁，F₂，点P在双曲线上，且满足|PF₁|+|PF₂|=2

5

，则△PF₁F₂的面积为（　　）

• A、

  5

• B、

  3

• C、1
• D、

  1

  2

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,解三角形,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出双曲线的a，b，c，可设P在右支上，由双曲线的定义可得|PF₁|-|PF₂|=2

3

，由条件可得|PF₁|，|PF₂|，结合勾股定理的逆定理和直角三角形的面积公式，计算即可得到．

解答： 解：双曲线

x2

3

-y²=1的a=

3

，b=1，
c=

3+1

=2，
可设P在右支上，
由双曲线的定义可得|PF₁|-|PF₂|=2

3

，
又|PF₁|+|PF₂|=2

5

，
两式平方相加可得，|PF₁|²+|PF₂|²=16，
而|F₁F₂|²=4c²=16，
则有|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²，
即有△PF₁F₂为直角三角形，
即有△PF₁F₂的面积为

1

2

|PF₁|•|PF₂|=

1

2

×（

5

+

3

）×（

5

-

3

）=1．
故选C．

点评：本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是双曲线的定义，同时考查勾股定理的逆定理和三角形的面积公式，属于基础题．