Question

求函数y=-tan²x+10tanx-1，x∈[

π

4

，

π

3

]的最值及相应x的值．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：计算题,三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：由条件利用正切函数的定义域和值域求得tanx=t的范围，再利用二次函数的性质即可求得y=-t²+10t-1的最值及对应的x的值．

解答： 解：令tanx=t，由于x∈[

π

4

，

π

3

]，
即有t∈[1，

3

]，y=-t²+10t-1=-（t-5）²+24，
[1，

3

]在对称轴t=5的左边，即为增区间．
故当t=1即x=

π

4

时，函数y取得最小值为8，
当t=

3

即x=

π

3

时，函数y取得最大值为10

3

-4．

点评：本题主要考查正切函数的定义域和值域，二次函数的性质的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．