Question

已知数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1-a_nsin²θ=sin2θ•cos²ⁿθ．
（Ⅰ）当θ=

π

4

时，求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若数列{b_n}满足b_n=sin

πan

2

，S_n为数列{b_n}的前n项和，求证：对任意n∈N^*，S_n＜3+

5π

8

．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）当θ=

π

4

时，an+1-

1

2

an=

1

2n

，2nan+1-2n-1•an=1，利用等差数列的通项公式即可得出；
（2）由（1）可得：a_n=

n

2n-1

，可得bn=sin

nπ

2n

，b1=b2=1，b3=sin

3π

8

＜1，可得当n=1，2，3时，不等式成立；当n≥4时，由于bn=sin

nπ

2n

＜

nπ

2n

，利用“错位相减法”、等比数列的前n项函数公式即可得出．

解答： （1）解：当θ=

π

4

时，an+1-

1

2

an=

1

2n

，2nan+1-2n-1•an=1，
∴{2^n-1a_n}是以1为首项、1为公差的等差数列，2^n-1a_n=n，
从而an=

n

2n-1

．
（2）证明：bn=sin

nπ

2n

，b1=b2=1，b3=sin

3π

8

＜1，
∴当n=1，2，3时，Sn＜3+

5π

8

成立；
当n≥4时，∵bn=sin

nπ

2n

＜

nπ

2n

，Sn＜3+(

4

24

+

5

25

+

6

26

+…+

n

2n

)π，
令T=

4

24

+

5

25

+

6

26

+…+

n

2n

，

1

2

T=

4

25

+

5

26

+

6

27

+…+

n

2n+1

，
两式相减得

1

2

T=

4

24

+

1

25

+

1

26

+…+

1

2n

-

n

2n+1

＜

1

4

+

1

24

=

5

16

，
T＜

5

8

，所以Sn＜3+

5π

8

．
综上所述，对任意n∈N*，Sn＜3+

5π

8

．

点评：本题考查了“错位相减法”、等比数列与等差数列的通项公式及其前n项函数公式、三角函数的性质、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．