Question

当0＜x＜

π

2

时，求证：x-sinx＜

1

6

x³．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：证明题,导数的综合应用

分析：令f（x）=x-

1

6

x³-sin x，求导数，确定函数的单调性，即可证明结论．

解答： 证明：令f（x）=x-

1

6

x³-sin x，则 f′（x）=1-

1

2

x2-cos x，
f″（x）=-x+sin x，f″′（x）=-1+cos x．
当0＜x＜

π

2

时，0＜cos x＜1，即 f″′（x）＜0．
所以f″（x）在（0，

π

2

）上单调递减．
所以f″（x）＜f″（0）=0，x属∈（0，

π

2

）．
所以f′（x）在（0，

π

2

）上单调递减．
所以f（x）＜f（0）=0，x∈（0，

π

2

）．
即x-sinx＜

1

6

x³，x∈（0，

π

2

）．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，正确求导数是关键．