Question

已知：动点P、Q都在曲线C：

x=2cost y=2sint

（t为参数）上，对应参数分别为t=a与t=2a（0＜α＜2π），M为PQ的中点．
（Ⅰ）求M的轨迹的参数方程；
（Ⅱ）将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：计算题,坐标系和参数方程

分析：（Ⅰ）利用参数方程，可得M的坐标，消去参数，即可求出M的轨迹的参数方程；
（Ⅱ）利用距离公式，将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，当α=π时，d=0，即可判断M的轨迹是否过坐标原点．

解答： 解：（Ⅰ）依题意有P（2cosα，2sinα），Q（2cos2α，2sin2α），
因此M（cosα+cos2α，sinα+sin2α）
M的轨迹的参数方程为

x=cosα+cos2α y=sinα+sin2α

，(α为参数，0＜α＜2π)，…（6分）
（Ⅱ）M点到坐标原点的距离d=

x2+y2

=

2+2cosα

(0＜α＜2π)
当α=π时，d=0，故M的轨迹过坐标原点                            …（10分）

点评：本题考查参数方程的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确运用参数方程是关键．