Question

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y²=2px（p＞0）的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若双曲线C的离心率为2，△AOB的面积为

3

，则△AOB的内切圆半径为（　　）

• A、

  3

  -1
• B、

  3

  +1
• C、2

  3

  -3
• D、2

  3

  +3

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：解三角形,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由双曲线的离心率公式及a，b，c的关系可得b=

3

a，由双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程解得A，B，求出三角形AOB的面积，进而解得p=2，即有A，B的坐标，进而得到三角形AOB的三边，再由内切圆的半径与三角形的面积之间的关系，计算即可得到r．

解答： 解：由e=

c

a

=

a2+b2 a2

=

1+( b a )2

=2，可得

b

a

=

3

．
由

y=± b a x x=- p 2

，求得A（-

p

2

，

bp

2a

），B（-

p

2

，-

bp

2a

），
所以S_△AOB=

1

2

•

bp

a

•

p

2

=

3

．
将

b

a

=

3

代入，得p²=4，解得p=2．
所以A（-1，

3

），B（-1，-

3

），
则△AOB的三边分别为2，2，2

3

，
设△AOB的内切圆半径为r，由

1

2

（2+2+2

3

）r=

3

，
解得r=2

3

-3，
故选C．

点评：本题考查双曲线和抛物线的综合应用．求解这类问题关键是结合两个曲线的位置关系，找到它们对应的几何量，然后利用图形中的平面几何性质解答问题．