Question

在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．己知直线l的参数方程为

x=t y=at

（t为參数），曲线C₁的方程为ρ=4sinθ．若线段OQ的中点P始终在C₁上．
（Ⅰ）求动点Q的轨迹C₂的极坐标方程：
（Ⅱ）直线l与曲线C₂交于A，B两点，若丨AB丨≥4

2

，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（1）设点Q（ρ₁，θ），则ρ₁=2ρ=8sinθ，即可得出；
（2）由题意，A，B两点中必有一个是极点，不妨设A为极点，则B（ρ，θ），可得ρ≥4

2

，可得sinθ≥

2

2

，|tanθ|≥1，解出即可．

解答： 解：（1）设点Q（ρ₁，θ），则ρ₁=2ρ=8sinθ，
故点Q的轨迹C₂的极坐标方程为ρ=8sinθ；
（2）由题意，A，B两点中必有一个是极点，不妨设A为极点，则B（ρ，θ），由题，ρ≥4

2

，
即8sinθ≥4

2

，∴sinθ≥

2

2

，
∴|tanθ|≥1，
则a=tanθ∈（-∞，-1]∪[1，+∞）．

点评：本题考查了极坐标方程、中点坐标公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．