Question

已知各项均为正数的数列{a_n}满足：2a_n=S_n+

1

2

，其中S_n为数列{a_n}的前n项和．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若a_n²=（

1

2

） bn，设c_n=

bn

an

，T_n为数列{c_n}的前n项和，设d_n=

2n•Tn

n3-n

（n≥2），J_n=d₂+d₃+…+d_n，求证：J_n≥

8

3

（n≥2）

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）两利用递推式、等比数列的通项公式即可得出；
（2）利用对数的运算性质可得b_n，再利用“错位相减法”可得T_n，利用“裂项求和”可得J_n，利用向量的单调性即可证明．

解答： （1）解：∵2a_n=S_n+

1

2

，
∴当n=1时，2a1=a1+

1

2

，解得a₁=

1

2

；
当n≥2时，2an-1=Sn-1+

1

2

，
∴2a_n-2a_n-1=a_n，化为a_n=2a_n-1．
∴数列{a_n}是等比数列，an=

1

2

×2n-1=2^n-2．
（2）证明：a_n²=（

1

2

） bn，
∴b_n=log

1

2

a

2 n

=2log

1

2

2n-2=2（2-n）=4-2n．
则c_n=

bn

an

=

4-2n

2n-2

=

2-n

2n-3

，
∴T_n=4+0-1-

2

2

-

3

22

-…+

2-n

2n-3

，

1

2

Tn=2+0-

1

2

-

2

22

-

3

23

-…+

3-n

2n-3

+

2-n

2n-2

，
∴

1

2

Tn=4-2-1-

1

2

-

1

22

-…-

1

2n-3

-

2-n

2n-2

=8-

4(1- 1 2n )

1- 1 2

-

2-n

2n-2

=

n

2n-2

，
∴Tn=

n

2n-3

．
∴d_n=

2n•Tn

n3-n

=

2n• n 2n-3

n3-n

=

8

n2-1

=4(

1

n-1

-

1

n+1

)，
J_n=d₂+d₃+…+d_n=4[(1-

1

3

)+(

1

2

-

1

4

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

n-1

-

1

n+1

)]
=4(1+

1

2

-

1

n

-

1

n+1

)≥J₂=4×(1+

1

2

-

1

2

-

1

3

)=

8

3

．
∴J_n≥

8

3

（n≥2）

点评：本题考查了递推式、等比数列的通项公式及其前n项和公式、对数的运算性质、“错位相减法”、“裂项求和”、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．