Question

10．已知函数f（x）=sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$-sin²$\frac{x}{2}$．
（1）若函数g（x）=f（x）-m在（-∞，+∞）上无零点，求实数m的取值范围；
（2）设A，B，C是△ABC的三个内角，若f（A）=f（B）且A≠B，求f（C）的值．

Answer 1

分析 （1）化简可得f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）-$\frac{1}{2}$，求函数的值域可得；
（2）由题意可得A+B=$\frac{π}{2}$，进而可得C=$\frac{π}{2}$，代入函数解析式化简即可．

解答 解：（1）化简可得f（x）=sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$-sin²$\frac{x}{2}$
=$\frac{1}{2}$•2sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$-$\frac{1-cosx}{2}$=$\frac{1}{2}$sinx+$\frac{1}{2}$cosx-$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）-$\frac{1}{2}$；
∵sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[-1，1]，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）-$\frac{1}{2}$∈[-$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$]，
∵函数g（x）=f（x）-m在（-∞，+∞）上无零点，
∴实数m的取值范围为（-∞，-$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$）∪（$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$，+∞）；
（2）设A，B，C是△ABC的三个内角，
∵f（A）=f（B）且A≠B，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（A+$\frac{π}{4}$）-$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（B+$\frac{π}{4}$）-$\frac{1}{2}$，
∴A+$\frac{π}{4}$+B+$\frac{π}{4}$=π，∴A+B=$\frac{π}{2}$，∴C=π-（A+B）=$\frac{π}{2}$，
∴f（C）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（$\frac{π}{2}$+$\frac{π}{4}$）-$\frac{1}{2}$=0．

点评 本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及二倍角公式和三角函数的值域，属中档题．