Question

15．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=$\frac{π}{2}$，AB=BC=1，AD=2，E是AD的中点，O是AC与BE的交点，将ABE沿BE折起到A₁BE的位置，如图2．
（Ⅰ）证明：CD⊥平面A₁OC；
（Ⅱ）若平面A₁BE⊥平面BCDE，求平面A₁BC与平面A₁CD夹角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据线面垂直的判定定理即可证明：CD⊥平面A₁OC；
（Ⅱ）若平面A₁BE⊥平面BCDE，建立空间坐标系，利用向量法即可求平面A₁BC与平面A₁CD夹角的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）在图1中，∵AB=BC=1，AD=2，E是AD的中点，∠BAD=$\frac{π}{2}$，
∴BE⊥AC，
即在图2中，BE⊥OA₁，BE⊥OC，
则BE⊥平面A₁OC；
∵CD∥BE，
∴CD⊥平面A₁OC；
（Ⅱ）若平面A₁BE⊥平面BCDE，
由（Ⅰ）知BE⊥OA₁，BE⊥OC，
∴∠A₁OC为二面角A₁-BE-C的平面角，
∴∠A₁OC=$\frac{π}{2}$，
如图，建立空间坐标系，
∵A₁B=A₁E=BC=ED=1．BC∥ED
∴B（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0，0），E（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0，0），A₁（0，0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），C（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0），
$\overrightarrow{BC}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0），$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BE}=（-\sqrt{2}，0，0）$
设平面A₁BC的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），平面A₁CD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{A}_{1}C}=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{-x+y=0}\\{y-z=0}\end{array}\right.$，令x=1，则y=1，z=1，即$\overrightarrow{m}$=（1，1，1），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}C}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{a=0}\\{b-c=0}\end{array}\right.$，
取$\overrightarrow{n}$=（0，1，1），
则cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{3}×\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴平面A₁BC与平面A₁CD夹角的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题主要考查空间直线和平面垂直的判定以及二面角的求解，建立坐标系利用向量法是解决空间角的常用方法．