Question

14．已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，AB=2，AA₁=3，点D是B₁C₁的中点，则AD与平面ABC所成的角为（　　）

• A． 90°
• B． 60°
• C． 45°
• D． 30°

Answer 1

分析 如图所示，取BC的中点E，连接ED，EA．由正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，可得：AE⊥BC，四边形DECC₁是平行四边形，可得DE⊥平面ABC，∠DAE是AD与平面ABC所成的角．利用直角三角形的边角关系即可得出．

解答 解：如图所示，
取BC的中点E，连接ED，EA．
由正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，可得：AE⊥BC，四边形DECC₁是平行四边形．
∴DE∥CC₁，
又CC₁⊥平面ABC，∴DE⊥平面ABC．
∴∠DAE是AD与平面ABC所成的角．
∵等边三角形ABC中，AB=2，则AE=$\sqrt{3}$．
∴∠DAE是AD与平面ABC所成的角．
在RT△ADE中，tan∠DAE=$\frac{DE}{AE}$=$\frac{3}{\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$．
∴∠DAE=60°．
故选：B．

点评 本题考查了正三棱柱的性质、等边三角形的性质、直角三角形的边角关系、空间角，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．