Question

7．已知函数f（x）=（sinx+cosx）²+2cos²x
（1）求f（x）的单调递减区间   
（2）求f（x）在$x∈[0，\frac{π}{2}]$时的值域
（3）叙述由$y=\sqrt{2}sinx$到y=f（x）的图象的变换过程．

Answer 1

分析 首先画出三角函数式为最简形式，然后根据正弦函数的性质解之．

解答 解：由已知f（x）=（sinx+cosx）²+2cos²x=1+sin2x+cos2x+1=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+2，
所以（1）令2x+$\frac{π}{4}$∈[2kπ+$\frac{π}{2}$，2kπ$+\frac{3π}{2}$]，得到f（x）的单调递减区间为[k$π+\frac{π}{8}$，k$π+\frac{5π}{8}$]，k∈Z；
（2）$x∈[0，\frac{π}{2}]$时，2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，所以f（x）的值域为[1，2+$\sqrt{2}$]；
（3）由$y=\sqrt{2}sinx$的任何一点的横坐标缩小为原来的$\frac{1}{2}$，纵坐标不变，然后向左平移$\frac{π}{8}$个单位，最后向上平移2个单位得到y=f（x）的图象．

点评 不同考查了三角函数式的化简以及利用正弦函数的性质解答关于正弦型函数的性质．