Question

17．过点P（-1，0）作曲线f（x）=e^x的切线l．
（1）求切线l的方程；
（2）若直线l与曲线y=$\frac{a}{f（x）}$（a∈R）交于不同的两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），求证：x₁+x₂＜-4．

Answer 1

分析 （1）求导数，设切点，可得方程组，即可求切线l的方程；
（2）设f（x）=（x+1）e^x，则f（x₁）=f（x₂）．f'（x）=（x+2）e^x，可得函数f（x）的单调性；设g（x）=f（x）-f（-4-x），切点其单调性，即可证明结论．

解答 （1）解：y'=e^x，设切点（x₀，y₀），则$\left\{\begin{array}{l}{y_0}={e^{x_0}}\\{e^{x_0}}=\frac{y_0}{{{x_0}+1}}\end{array}\right.$，解得x₀=0，
因此y'|_x=0=1，l的方程是y=x+1．…（6分）
（2）证明：依题意有$\left\{\begin{array}{l}\frac{a}{{{e^{x_1}}}}={x_1}+1\\ \frac{a}{{{e^{x_2}}}}={x_2}+1\end{array}\right.$，所以$（{x_1}+1）{e^{x_1}}=（{x_2}+1）{e^{x_2}}$…（8分）
设f（x）=（x+1）e^x，则f（x₁）=f（x₂）．f'（x）=（x+2）e^x，
当x＜-2时，f'（x）＜0，当x＞-2时，f'（x）＞0；
所以f（x）在（-∞，-2）单调递减，在（-2，+∞）单调递增．
因为x₁≠x₂，不妨设x₁＜-2，x₂＞-2．
设g（x）=f（x）-f（-4-x），则g'（x）=f'（x）+f'（-4-x）=（x+2）e^x（1-e^-2（2+x）），
当x＞-2时，g'（x）＞0，g（x）在在（-2，+∞）单调递增，
所以g（x）＞g（-2）=0，所以当x＞-2时，f（x）＞f（-4-x）．…（14分）
因为x₂＞-2，所以f（x₂）＞f（-4-x₂），从而f（x₁）＞f（-4-x₂），
因为-4-x₂＜-2，f（x）在（-∞，-2）单调递减，所以x₁＜-4-x₂，即x₁+x₂＜-4．…（16分）

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，属于中档题．