Question

8．已知数列{a_n}满足a₁=1，na_n+1=（n+1）a_n+n²+n（n∈N^*）．
（1）求证：数列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}为等差数列；
（2）若数列{b_n}满足b_n=$\frac{2n+1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由已知得$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}-\frac{{a}_{n}}{n}=1$，n∈N^*，从而能证明数列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}为等差数列．
（2）求出${a}_{n}={n}^{2}$，从而b_n=$\frac{2n+1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{2n+1}{{n}^{2}（n+1）^{2}}$=$\frac{1}{{n}^{2}}-\frac{1}{（n+1）^{2}}$，由此利用裂项求和法能求出数列{b_n}的前n项和．

解答 证明：（1）∵数列{a_n}满足a₁=1，na_n+1=（n+1）a_n+n²+n（n∈N^*），
∴$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}=\frac{{a}_{n}}{n}+1$，即$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}-\frac{{a}_{n}}{n}=1$，n∈N^*，
又$\frac{{a}_{1}}{1}$=1，
故数列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}为首项为1，公差为1的等差数列．…（4分）
解：（2）∵数列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}为首项为1，公差为1的等差数列，
∴$\frac{{a}_{n}}{n}=1+（n-1）×1=n$，∴${a}_{n}={n}^{2}$，
∴b_n=$\frac{2n+1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{2n+1}{{n}^{2}（n+1）^{2}}$=$\frac{1}{{n}^{2}}-\frac{1}{（n+1）^{2}}$，
∴数列{b_n}的前n项和：
S_n=（1-$\frac{1}{{2}^{2}}$）+（$\frac{1}{{2}^{2}}-\frac{1}{{3}^{2}}$）+…+（$\frac{1}{{n}^{2}}-\frac{1}{（n+1）^{2}}$]
=1-$\frac{1}{（n+1）^{2}}$=$\frac{{n}^{2}+2n}{（n+1）^{2}}$．…（12分）

点评 本题考查数列为等差数列的证明，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．