Question

13．已知函数f（x）=x³-3x²+ax+2，曲线y=f（x）在点（0，2）处的切线与x轴交点的横坐标为-2．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求曲线y=f（x）与直线y=x-2交点个数．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，求出切线的斜率，求出切线的方程，再令y=0，得到方程，解得即可；
（Ⅱ）求出导数和单调区间，画出f（x）的图象，以及直线y=kx-2，注意k=1的相切的情况，即可得出结论．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=x³-3x²+ax+2的导数
f′（x）=3x²-6x+a，
则曲线y=f（x）在（0，2）处的切线斜率为a，
即有曲线y=f（x）在（0，2）处的切线方程为：y=ax+2，
令y=0，则x=-$\frac{2}{a}$，由-2=-$\frac{2}{a}$，即有a=1；
（Ⅱ）由f′（x）=3x²-6x+1，当1-$\frac{\sqrt{6}}{3}$＜x＜1+$\frac{\sqrt{6}}{3}$时，
f′（x）＜0，f（x）递减，当x＞1+$\frac{\sqrt{6}}{3}$或x＜1-$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
f′（x）＞0，f（x）递增，如右图，f（x）的图象，
作出直线y=kx-2的图象，恒过定点（0，-2），
令f′（x）=1，则x=0或2，切点为（0，2），（2，0）．
即k=1时，直线y=x-2与曲线y=f（x）相切，与曲线y=f（x）有两个交点．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程，求单调区间，考查运算能力，属于中档题．