Question

20．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$ax²-（2a+1）x+2lnx．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，求a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，讨论函数y=f（x）的单调性；
（Ⅲ）设g（x）=（x²-2x）e^x，若对任意x₁∈（0，2），均存在x₂∈（0，2），使得f（x₁）＜g（x₂），求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由导数的几何意义，根据曲线y=f（x）在x=l和x=3处的切线互相平行，求得a值；
（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的a值代入函数解析式，求导后利用导函数的符号求得单调区间；
（Ⅲ）由题意得，若要命题成立，只须当x∈[0，2]时，f（x）_max＜g（x）_max．利用导数分别求得f（x）、g（x）的最大值，解不等式得出a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=$\frac{1}{2}$ax²-（2a+1）x+2lnx（x∈R）．
∴f′（x）=ax-（2a+1）+$\frac{2}{x}$，f′（1）=-a+1，f′（3）=a-$\frac{1}{3}$，
由f′（1）=f′（3）得a=$\frac{2}{3}$；
（Ⅱ）把a=$\frac{2}{3}$代入可得，f′（x）=$\frac{2}{3}$x-$\frac{7}{3}$+$\frac{2}{x}$=$\frac{2{x}^{2}-7x+6}{x}=\frac{（2x-3）（x-2）}{x}$，
∴当x∈（0，$\frac{3}{2}$），（2，+∞）时，f′（x）＞0，当x∈（$\frac{3}{2}$，2）时，f′（x）＜0，
∴y=f（x）的单调递增区间为（0，$\frac{3}{2}$），（2，+∞），
单调递减区间为（$\frac{3}{2}$，2）；
（Ⅲ）若要命题成立，只须当x∈[0，2]时，f（x）_max＜g（x）_max．
由g'（x）=（x²-2）e^x可知，当x∈（0，2]时g（x）_max=g（2）=0，
∴只须f（x）_max＜0．
对f（x）来说，f′（x）=ax-（2a+1）+$\frac{2}{x}$=$\frac{（ax-1）（x-2）}{x}$，
①当a＞$\frac{1}{2}$时，f（x）_max=f（$\frac{1}{a}$）=-2lna-$\frac{1}{2a}$-2，
当a≥1时，显然f（x）_max＜0，满足题意，
当$\frac{1}{2}$＜a＜1时，令h（x）=-2lnx-$\frac{1}{2x}$-2（$\frac{1}{2}$＜x＜1），h′（x）=-$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{2{x}^{2}}$＜0，
∴h（x）递减，则h（x）＜0，满足题意，
∴a＞$\frac{1}{2}$满足题意；
②当a≤$\frac{1}{2}$时，f（x）在x∈（0，2）上单调递增，
∴f（x）_max=f（2）=2ln2-2a-2＜0得ln2-1＜a≤$\frac{1}{2}$，
综上所述，a＞ln2-1．

点评 本题考查利用导数求曲线的切线斜率及利用导数研究函数的单调性、最值等知识，考查等价转化、分类讨论等数学思想方法，考查运用能力，属难题．