Question

7．已知函数f（x）=|x-3|．
（1）求不等式f（x）＜2+|x+1|的解集；
（2）已知m，n∈R⁺且$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=2mn，求证：mf（n）+nf（-m）≥6．

Answer 1

分析 （1）根据绝对值不等式的解法，利用分类讨论的思想进行求解即可．
（2）利用基本不等式，结合绝对值的性质进行证明即可．

解答 解：（1）由f（x）＜2+|x+1|得|x-3|＜2+|x+1|，
即|x-3|-|x+1|＜2，
即当x＜-1时，不等式等价为-x+3+x+1＜2，即4＜2，此时不等式无解，
当-1≤x≤3时，不等式等价为-x+3-x-1＜2，即-2x+2＜2，得x＞0，此时0＜x≤3，
当x＞3时，不等式等价为x-3-x-1＜2，即-4＜2，成立，此时x＞3，
综上不等式的解为x＞0，
即不等式的解集为（0，+∞）；
（2）已知m，n∈R⁺且$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=2mn，
∴2mn≥2$\sqrt{\frac{1}{m}•\frac{1}{n}}$=$\frac{2}{\sqrt{mn}}$，
则mn≥1，
则mf（n）+nf（-m）=m|n-3|+n|-m-3|=|mn-3n|+|mn+3n|≥|（mn-3n-（mn+3m）|=3|m+n|≥6$\sqrt{mn}$≥6．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法和证明，利用分类讨论的思想结合绝对值的性质是解决本题的关键．