Question

17．已知x，y满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x-y≤1}\\{x+2y≤2}\\{x≥1}\end{array}\right.$，且z=2x-y+a（a为常数）的最大值为2，则z的最小值为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． -$\frac{1}{2}$
• C． -$\frac{7}{6}$
• D． $\frac{7}{6}$

Answer 1

分析 画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合函数的图象求出a的值，从而求出z的最小值即可．

解答 解：画出满足条件的平面区域，如图示：
，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y=1}\\{x+2y=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{3}}\\{y=\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+2y=2}\\{x=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$
由z=2x-y+a得：y=2x+a-z，
显然直线过（$\frac{4}{3}$，$\frac{1}{3}$）时，z取得最大值2，
此时$\frac{8}{3}$-$\frac{1}{3}$+a=2，解得：a=-$\frac{1}{3}$，
故z=2x-y-$\frac{1}{3}$，结合图象直线过（1，$\frac{1}{2}$）时，z最小，
z的最小值是2-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$=$\frac{7}{6}$，
故选：D．

点评 本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题．