Question

4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知$\frac{1}{2}$a=b，sinC=$\frac{sinA+sinB}{2}$．
（1）求cosA的值；
（2）若3S_△ABC=8$\sqrt{15}$，求△ABC中的c边长．

Answer 1

分析 （1）由已知利用正弦定理可得a=2b，c=$\frac{3b}{2}$，利用余弦定理即可计算可求cosA的值．
（2）由（1）利用同角三角函数基本关系式可求sinA，利用三角形面积公式可求b，进而由c=$\frac{3b}{2}$可求c的值．

解答 解：（1）∵$\frac{1}{2}$a=b，sinC=$\frac{sinA+sinB}{2}$．
∴a=2b，2c=a+b=3b，可得：c=$\frac{3b}{2}$，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{{b}^{2}+\frac{9{b}^{2}}{4}-4{b}^{2}}{2b•\frac{3b}{2}}$=-$\frac{1}{4}$．
（2）∵由（1）可得：c=$\frac{3b}{2}$，cosA=-$\frac{1}{4}$．
∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
∵3S_△ABC=8$\sqrt{15}$，
∴$\frac{8\sqrt{15}}{3}$=$\frac{1}{2}•b•$$\frac{3b}{2}$•$\frac{\sqrt{15}}{4}$，解得：b=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$，
∴c=$\frac{3}{2}×$$\frac{8\sqrt{2}}{3}$=4$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．