Question

已知函数f（x）=sinx（x∈R）与g（x）=cosx（x∈R）．
（1）对于函数F（x）=f（2x）•g（x），有下列结论：
    ①F（x）是奇函数；
    ②F（x）是周期函数，最小正周期为π；
    ③y=F（x）的图象关于点（π，0）对称；
    ④y=F（x）的图象关于直线x=

π

2

对称．
    其中正确结论的序号是

 

；（直接写出所有正确结论的序号）
（2）对于函数G（x）=f（x）•g（2x），求满足G（x）＞0的x的取值范围；
（3）设函数F（x）的值域为A，函数G（x）的值域为B，试判断集合A，B之间的关系．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用,三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法,正弦函数的奇偶性

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）根据三角函数性质逐个判断即可；
（2）化简函数G（x），利用三角函数性质解三角不等式即可；
（3）先利用三角函数性质判断F（x）和G（x）的值域，再判断集合A，B之间的关系．

解答： 解：（1）∵f（x）=sinx，g（x）=cosx，
∴F（x）=f（2x）•g（x）=sin2x•cosx，
∴F（-x）=sin（-2x）•cos（-x）
=-sin2x•cosx=-F（x）．
∴F（x）是奇函数，
故①正确；
∵F（

π

4

）=sin

π

2

cos

π

4

=

2

2

，
F（

5π

4

）=sin

5π

2

cos

5π

4

=-

2

2

，
∴F（

π

4

）≠F（

5π

4

）．
∴②不正确；
∵F（π-x）=sin2（π-x）cos（π-x）
=sin2xcosx
F（π+x）=sin2（π+x）cos（π+x）
=-sin2xcosx
∴F（π-x）=-F（π+x）．
∴y=F（x）的图象关于点（π，0）对称，
即③正确；
∵F（

π

2

-x）=sin2（

π

2

-x）cos（

π

2

-x）
=sin2xsinx
F（

π

2

+x）=sin2（

π

2

+x）cos（

π

2

+x）
=sin2xsinx
∴F（

π

2

-x）=F（

π

2

+x）．
∴y=F（x）的图象关于直线x=

π

2

对称．
即④正确．
故答案为：①③④．
（2）∵G（x）=f（x）•g（2x）
=sinxcos2x＞0，
∴

sinx＞0 cos2x＞0

或

sinx＜0 cos2x＜0

．
∴x∈(2kπ，2kπ+

π

4

)∪(2kπ+

3π

4

，2kπ+π)∪(2kπ+

5π

4

，2kπ+

7π

4

)．
（3）∵|F（x）|=|sin2x•cosx|≤1，
当且仅当

|cosx|=1 |sin2x|=1

时取得等号，
当|cosx|=1时，x=kπ（k∈z），此时sin2x=sin2kπ=0，
∴F（x）≠1，
∴F（x）＜1，
即，A

? ≠

[-1，1]；
∵|G（x）|=|sinxcos2x|≤1，
当且仅当

|cos2x|=1 |sinx|=1

时取得等号，
此时x=kπ+

π

2

（k∈z），
∴|G（x）|≤1，
即，B=[-1，1]；
由此可知，A

? ≠

B．

点评：本题考查三角函数的性质，三角恒等变换的公式，三角不等式的求解，集合的基本关系等知识的综合应用，属于难题．