Question

如图，已知三棱锥中，，，为中点，为 中点，且为正三角形。

（Ⅰ）求证：//平面；
（Ⅱ）求证：平面⊥平面；
（III）若，，求三棱锥的体积.

Answer 1

（Ⅰ）、（Ⅱ）详见解析（III）.

解析试题分析：（Ⅰ）利用中位线性质得到线线平行，根据线面平行的判定判定直线与平面平行；（Ⅱ）利用正三角形中点得到线线垂直，根据平行推得线线垂直，利用直线与平面垂直判定面面垂直；（Ⅲ）利用三棱锥的体积公式计算体积.
试题解析：（Ⅰ）∵M为AB中点，D为PB中点，
∴MD//AP，  又∴MD平面ABC
∴DM//平面APC．                              3分
（Ⅱ）∵△PMB为正三角形，且D为PB中点．∴MD⊥PB．
又由（1）∴知MD//AP， ∴AP⊥PB．
又已知AP⊥PC  ∴AP⊥平面PBC，
∴AP⊥BC，  又∵AC⊥BC．                       7分
∴BC⊥平面APC，  ∴平面ABC⊥平面PAC，
（Ⅲ）∵ AB=20
∴ MB=10   ∴PB=10
又 BC=4，.
∴.
又MD.
∴V_D-BCM = V_M-BCD =.      12分
考点：直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定，三棱锥体积计算.