Question

已知圆O：x²+y²=4和点M（1，a）．

（1）若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求正数a的值，并求出切线方程；

（2）若a=，过点M的圆的两条弦AC，BD互相垂直．

①求四边形ABCD面积的最大值；②求|AC|+|BD|的最大值．

　

Answer 1

 解：（1）由条件知点M在圆O上，所以1+a²=4，则a=，

由a＞0，则a=，点M为（1，），k_OM=，切线的斜率为﹣，

此时切线方程为y﹣=﹣（x﹣1），即x+y﹣4=0；

（2）设O到直线AC，BD的距离分别为d₁，d₂，

则d₁²+d₂²=|OM|²=3，于是|AC|=2，|BD|=2，

①S_ABCD=|AC|•|BD|=2•≤4﹣d₁²+4﹣d₂²=8﹣3=5，

当且仅当d₁=d₂=时取等号，

即四边形ABCD面积的最大值为5；

②|AC|+|BD|=2+2，

则（|AC|+|BD|）²=4（4﹣d₁²+4﹣d₂²+2•）

=4（5+2）=4（5+2）

因为2d₁d₂≤d₁²+d₂²=3，所以d₁²d₂²≤，当且仅当d₁=d₂=时取等号，

所以≤，所以（|AC|+|BD|）²≤4（5+2×）=40，

所以|AC|+|BD|≤2，

即|AC|+|BD|的最大值为2．