Question

6．已知$\vec a=（2cosx，\sqrt{3}cosx）$，$\vec b=（cosx，2sinx）$，函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$（x∈R）
（1）求函数f（x）的周期；
（2）若方程f（x）-t=1在$x∈[0，\frac{π}{2}]$内恒有两个不相等的实数解，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）首先利用三角函数的恒等变换，变形成正弦型函数进一步利用函数周期的定义．
（2）把求方程的解得问题转化成求函数的交点问题，进一步利用函数的性质求参数的取值范围

解答 解：（1）$f（x）=2{cos^2}x+\sqrt{3}sin2x$=$cos2x+\sqrt{3}sin2x+1$=$2sin（{2x+\frac{π}{6}}）+1$，
∴周期T=π；
（2）依题意：由$2sin（{2x+\frac{π}{6}}）+1$=t+1，得$t=2sin（{2x+\frac{π}{6}}）$，
即函数y=t与$y=2sin（{2x+\frac{π}{6}}）$的图象在$x∈[0，\frac{π}{2}]$有两个交点，
∵$x∈[0，\frac{π}{2}]$，∴$2x+\frac{π}{6}∈[\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}]$．
当$2x+\frac{π}{6}∈[\frac{π}{6}，\frac{π}{2}]$时，$sin（{2x+\frac{π}{6}}）∈[\frac{1}{2}，1]$，y∈[1，2]
当$2x+\frac{π}{6}∈[\frac{π}{2}，\frac{7π}{6}]$时，$sin（{2x+\frac{π}{6}}）∈[-\frac{1}{2}，1]$，y∈[-1，2]
故由正弦图象得：1≤t＜2

点评 本题考查的知识要点：三角函数的恒等变换，正弦型函数的单调性，在同一坐标系内的利用两函数的交点问题求参数的取值范围问题．