Question

【题目】已知函数，.

（Ⅰ）当时，求函数在上的最值；

（Ⅱ）讨论函数的单调区间；

（Ⅲ）当时，对任意，都有恒成立，求的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ），； （Ⅱ）当时，增区间为，减区间为；当时，增区间为和，减区间为；当，增区间为；当时，增区间为和，减区间为； （Ⅲ）1.

【解析】

（Ⅰ）表示此时的，对其求导分析单调性，分别计算端点值与极大（小）值，比较其中最大的为最大值，最小的为最小值；

（Ⅱ）求导，利用分类讨论最高次项是否为零，并因式分解表示的两根，再利用分类讨论两根的大小，进而判定单调性；

（Ⅲ）当时，求得此时的最大值；当时，利用二次函数定区间动轴问题的讨论方式，求得此时的最大值；由恒成立即求得的最小值.

（Ⅰ）当时，有，则，则

	+	0	-	0	+
	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

因为，，，

所以，

（Ⅱ）由题可知，

当时，的增区间为，减区间为

当时，的增区间为和，减区间为

当，的增区间为

当时，的增区间为和，减区间为

（Ⅲ）①当时，在上的最大值为1

②当时，的对称轴为，

若即时，

而，所以

若即时，

由，，所以

综上所述，当时，对任意，

因为恒成立，所以

故的最小值为1

法2：解：，由题得：

，对于，以及恒成立.

①首先必须

对恒成立，对恒成立

，于是必须

②其次，再证明合乎题意.

要证，即证

事实上，，，

另外

两式相乘立即知道（A）成立.综合（1），（2）得的最小值为1