Question

【题目】已知椭圆的离心率为，右焦点为，直线l经过点F，且与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）当直线l绕点F转动时，试问：在x轴上是否存在定点M，使得为常数?若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）存在定点满足题意

【解析】

（1）由题意得，再根据右焦点为，求出的值，就可得到的值，再根据，，的关系，解出值，则椭圆方程可知；（2）当直线斜率存在时，设出直线的方程，与椭圆方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，求出，，设出M点坐标，以及，要使其为常数，只需要，化简，可求出的值，当直线垂直于轴时，同样求出的值，两者一致，所以在轴上存在定点M，使得为常数.

（1）由题意可知，，又，解得，

所以，所以椭圆的方程为．

（2）若直线不l垂直于x轴，可设的方程为．

由得．

．

设，，则，．

设，则，，

要使得（为常数），只要，

即．

对于任意实数k，要使式恒成立，

只要，解得．

若直线l垂直于x轴，其方程为，

此时，直线l与椭圆两交点为，，

取点，有，，

．

综上所述，过定点的动直线l与椭圆相交于A，B两点，当直线l绕点F转动时，存在定点，使得．