Question

12．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，PA=4，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中点．
（1）求异面直线BC与PD所成角的正切值；
（2）求证：CD⊥PE．

Answer 1

分析 （1）利用BC∥AD，得到∠PDA为异面直线BC与PD所成角；
（2）连接AC，求出其长度与AD 相等，E为CD 中点，得到CD与AE 垂直，利用线面垂直的性质定理和判定定理得到证明．

解答 （1）解：∵∠DAB=∠ABC=90°∴BC∥AD
∴∠PDA为异面直线BC与PD所成角，
所以异面直线BC与PD所成角的正切值$\frac{4}{5}$----（6分）
（2）证明：连接AC，由AB=4，BC=3，∠ABC=90°，得AC=5．
又AD=5，E是CD的中点，所以CD⊥AE．
∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，所以PA⊥CD．
而PA，AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE．
又PE?面PAE，所以CD⊥PE---（12分）

点评 本题考查了异面直线所成的角；关键是将异面直线所成的角转化为平面角．