Question

19．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3x-1，0≤x＜1}\\{{2}^{x}-1，x≥1}\end{array}\right.$，设b＞a≥0，若f（a）=f（b），则a•f（b）的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{2}{3}$，2）
• B． [-$\frac{1}{12}$，+∞）
• C． [-$\frac{1}{12}$，-$\frac{1}{3}$）
• D． [-$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$]

Answer 1

分析 ：由函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3x-1，0≤x＜1}\\{{2}^{x}-1，x≥1}\end{array}\right.$，作出其图象如，利用数形结合思想能求出a•f（b）的取值范围．

解答 解：由函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3x-1，0≤x＜1}\\{{2}^{x}-1，x≥1}\end{array}\right.$，作出其图象如图，

因为函数f（x）在[0，1）和[1，+∞）上都是单调函数，
所以，若满足a＞b≥0，时f（a）=f（b），
必有b∈[0，1），a∈[1，+∞），
由图可知，使f（a）=f（b）的b∈[$\frac{2}{3}$，1），
f（a）∈[1，2）．
由不等式的可乘积性得：b•f（a）∈[$\frac{2}{3}$，2）．
∴a•f（b）的取值范围是[$\frac{2}{3}$，2）．
故选：A．

点评 本题考查数和函数值乘积的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．