Question

5．在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2ⁿa_n，
（1）写出这个数列的前4项；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）由a₁=1，a_n+1=2ⁿa_n，利用递推关系，取n=1，2，3，即可得出．
（2）由a_n+1=2ⁿa_n，可得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=2ⁿ，利用“累乘求积”与等差数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）∵a₁=1，a_n+1=2ⁿa_n，
∴a₂=2×1=2，a₃=2²×2=8，a₄=2³×8=64．
（2）∵a_n+1=2ⁿa_n，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=2ⁿ，
∴a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$×$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$×…×$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$×a₁
=2^n-1×2^n-2×…×2×1
=${2}^{\frac{（n-1）×（n-1+1）}{2}}$=${2}^{\frac{n（n-1）}{2}}$．

点评 本题考查了数列递推关系、“累乘求积”与等差数列的求和公式、指数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．