Question

18．如图，四边形ABCD为矩形，EA⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2AE=2EF=4．
（1）设G为BC的中点，求证：FG∥平面BDE；
（2）求证：AF⊥平面FBC．

Answer 1

分析 （1）设直线AC、BD相交于点O，连结OE、OG．矩形ABCD中，证出OG=$\frac{1}{2}$AB且OG∥AB，结合题意可得EF∥OG且EF=OG，得四边形EFGO是平行四边形，从而得到FG∥EO结合线面平行判定定理，即可得出FG∥平面BDE；
（2）由EA⊥平面ABCD和BC⊥AB，结合线面垂直的判定与性质证出BC⊥平面ABEF，从而AF⊥BC．直角梯形中，利用题中数据算出AF²+BF²=16=AB²，从而可得AF⊥BF，再由BF、BC是平面FBC内的相交直线，可证出AF⊥平面FBC

解答 解：（1）设直线AC、BD相交于点O，连结OE、OG，
∵矩形ABCD中，O是AC的中点，G为BC的中点
∴OG是△ABC的中位线，可得OG=$\frac{1}{2}$AB且OG∥AB
又∵EF∥AB，且EF=$\frac{1}{2}$AB，
∴EF∥OG且EF=OG，可得四边形EFGO是平行四边形
由此可得FG∥EO
∵FG?平面BDE，OE?平面BDE，
∴FG∥平面BDE；
（2）∵EA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴EA⊥BC
又∵BC⊥AB，AB∩EA=A，∴BC⊥平面ABEF
∵AF?平面ABEF，∴AF⊥BC
∵直角梯形AEFB中，AB=4，AE=EF=2
∴AF=BF=2$\sqrt{2}$，可得AF²+BF²=16=AB²，
∴△ABF是以AB为斜边的直角三角形，可得AF⊥BF
∵BF、BC是平面FBC内的相交直线
AF⊥平面FBC．

点评 本题给出底面为正方形、一个侧面为直角梯形的多面体，求证线面平行和线面垂直．着重考查了线面垂直的判定与性质和线面平行判定定理等知识，属于中档题．