Question

14．设函数f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$）+sin²x．
（1）求函数f（x）的最小周期；
（2）设函数g（x）对任意x∈R，有g（x+$\frac{π}{2}$）=g（x），且当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，g（x）=$\frac{1}{2}$-f（x）．求函数g（x）在[-π，0]上的解析式．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期．
（2）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，g（x）=$\frac{1}{2}$-f（x）．在讨论x∈[$-\frac{π}{2}$，0]时，g（x）的解析式，在函数g（x）在[-π，0]上的解析式．

解答 解：（1）函数f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$）+sin²x
化简可得：f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（cos2xcos$\frac{π}{4}$-sin2xsin$\frac{π}{4}$+sin²x）=$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{1}{2}$sin2x$+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}$cos2x=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$sin2x
∴函数f（x）的最小周期T=$\frac{2π}{2}=π$；
（2）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，g（x）=$\frac{1}{2}$-f（x）．即g（x）=$\frac{1}{2}-$（$\frac{1}{2}$$-\frac{1}{2}$sin2x）=$\frac{1}{2}$sin2x．
当x∈[-$\frac{π}{2}$，0]时，由于g（x+$\frac{π}{2}$）=g（x），
则（x+$\frac{π}{2}$）∈[0，$\frac{π}{2}$]
那么：g（x）=$\frac{1}{2}$sin2（x+$\frac{π}{2}$）=$-\frac{1}{2}$sin2x．
当x∈[-π，-$\frac{π}{2}$]时，则（x+π）∈[0，$\frac{π}{2}$]
可得：g（x）=$\frac{1}{2}$sin2（x+π）=$\frac{1}{2}$sin2x．
∴函数g（x）在[-π，0]上的解析式为f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}sin2x，（-\frac{π}{2}＜x≤0）}\\{\frac{1}{2}sin2x，（-π≤x≤\frac{π}{2}）}\end{array}\right.$

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，以及分段函数的解析式的求法．利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．