Question

8．已知函数f（x）=$\frac{{{x^2}+2x+a}}{x}$，当x≥1时f（x）＞0恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-3]
• B． （-3，+∞）
• C． [-5，-2]
• D． （-5，-3）

Answer 1

分析 根据题意得出x²+2x+a＞0在x＞1时恒成立，列出a＞-x²-2x；
利用函数求出g（x）=-x²-2x在x≥1时的最值即可得出实数a的取值范围．

解答 解：函数f（x）=$\frac{{{x^2}+2x+a}}{x}$，
当x≥1时f（x）＞0恒成立，
得x²+2x+a＞0，
即a＞-x²-2x；
设g（x）=-x²-2x，x＞1，
则g（x）=-（x+1）²+1，
当x＞1时，g（x）＜-（1+1）²+1=-3，
所以a＞-3；
即实数a的取值范围是（-3，+∞）．
故选：B．

点评 本题考查了不等式恒成立问题，也考查了函数在某一区间上的最值问题，是基础题目．