Question

17．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，以M（1，0）为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+$\sqrt{2}$-1=0相切．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知点N（3，2），和平面内一点P（m，n）（m≠3），过点M任作直线l与椭圆C相交于A，B两点，设直线AN，NP，BN的斜率分别为k₁，k₂，k₃，k₁+k₃=3k₂，试求m，n满足的关系式．

Answer 1

分析 （1）由点到直线的距离公式d=$\frac{丨1+0-\sqrt{2}-1丨}{\sqrt{1+1}}$=1，求得b=1，由e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，即可求得a的值，求得椭圆C的标准方程；
（2）当直线斜率不存在时，求出A，B的坐标，得到直线AN，BN的斜率，进一步得到NP的斜率，可得m，n满足的关系式．当直线的斜率存在时，设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设直线l：y=k（x-1），代入椭圆方程，利用根与系数的关系求得直线AN，BN的斜率和，进一步得到NP的斜率，可得m，n满足的关系式．

解答 解：（1）由椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），焦点在x轴上，
则M（1，0）到直线x-y+$\sqrt{2}$-1=0的距离d=$\frac{丨1+0-\sqrt{2}-1丨}{\sqrt{1+1}}$=1，
∴b=d=1，
离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，解得：a=$\sqrt{3}$，
∴椭圆C的标准方程$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$；
（2）①当直线斜率不存在时，由$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ \frac{x^2}{3}+{y^2}=1\end{array}\right.$，解得x=1，$y=±\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
不妨设$A（1，\frac{{\sqrt{6}}}{3}）$，$B（1，-\frac{{\sqrt{6}}}{3}）$，
∵k₁+k₃=2，
∴${k_2}=\frac{2}{3}$，
∴m，n的关系式为3n=2m．
②当直线的斜率存在时，设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线l：y=k（x-1），
联立椭圆整理得：（3k²+1）x²-6k²x+3k²-3=0，
由韦达定理可知：x₁+x₂=$\frac{6{k}^{2}}{3{k}^{2}+1}$，x₁•x₂=$\frac{3{k}^{2}-3}{3{k}^{2}+1}$，
∴${k_1}+{k_3}=\frac{{2-{y_1}}}{{3-{x_1}}}+\frac{{2-{y_2}}}{{3-{x_2}}}=\frac{{[{2-k（{x_1}-1）}]（3-{x_2}）+[{2-k（{x_2}-1）}]（3-{x_1}）}}{{（3-{x_1}）（3-{x_2}）}}$，
=$\frac{{2k{x_1}{x_2}-（4k+2）（{x_1}+{x_2}）+6k+12}}{{{x_1}{x_2}-3（{x_1}+{x_2}）+9}}$，
=$\frac{{2（12{k^2}+6）}}{{12{k^2}+6}}=2$．
∴${k_2}=\frac{2}{3}$，
∴m，n的关系式为3n=2m．

点评 本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，点到直线的距离公式，直线的斜率公式的综合应用，综合性较强，运算量大，极易出错，属于中档题．