Question

3．如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，点E在棱AD上移动．
（1）证明：D₁E⊥A₁D；
（2）AE等于何值时，二面角D₁-EC-D的大小为$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 （1）以D为原点，分别以DA，DC，DD₁所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明D₁E⊥A₁D．
（2）求出面D₁EC的法向量，面DEC的法向量，利用向量法能求出AE=2-$\sqrt{3}$时，二面角D₁-EC-D的大小为$\frac{π}{4}$．

解答 证明：（1）以D为原点，分别以DA，DC，DD₁所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
D₁（0，0，1），E（1，y，0），A₁（1，0，1），D（0，0，0），
$\overrightarrow{{D}_{1}E}$=（1，y，-1），$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（1，0，1），
$\overrightarrow{{D}_{1}E}•\overrightarrow{D{A}_{1}}$=0，
∴D₁E⊥A₁D．
解：（2）C（0，2，0），$\overrightarrow{{D}_{1}C}$=（0，2，-1），$\overrightarrow{EC}$=（-1，2-y，0），
设面D₁EC的法向量$\overrightarrow{n}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{D}_{1}C}=2b-c=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EC}=-a+b（2-y）=0}\end{array}\right.$，取b=1，得$\overrightarrow{n}$=（2-y，1，2），
面DEC的法向量$\overrightarrow{D{D}_{1}}$=（0，0，1），
∵二面角D₁-EC-D的大小为$\frac{π}{4}$．
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{D{D}_{1}}$＞=$\frac{2}{\sqrt{（2-y）^{2}+5}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得y=2-$\sqrt{3}$或y=2+$\sqrt{3}$（舍）．
∴AE=2-$\sqrt{3}$时，二面角D₁-EC-D的大小为$\frac{π}{4}$．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查二面角的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查等价转化思想、数形结合思想，考查空间思维能力，是中档题．