Question

已知，函数（为自然对数的底数）.

（Ⅰ）若，求函数的单调区间；

（Ⅱ）若的最小值为，求的最小值．

 

Answer 1

（Ⅰ）的单调减区间为单调增区间为；（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由于当a=1时，，则，分别由f′（x）＞0，f′（x）＜0，进而求出函数f（x）的单调区间．

（Ⅱ）由题意可知：恒成立，且等号可取．令转化为方程求解．

试题解析：（Ⅰ）时, ,

当时,

当时,

所以的单调减区间为单调增区间为.

（Ⅱ）由题意可知:恒成立,且等号可取.

即恒成立,且等号可取.

令

故

由得到,设,

当时,;当时,.

在上递减,上递增.所以

当时, ,即,

在上,,递减;

在上,,递增.

所以

设,

,在上递减,所以

故方程有唯一解,即.

综上所述,当时,仅有满足的最小值为,

故的最小值为.

考点：１．利用导数研究函数的单调性；２．利用导数求函数的极值、最值；３．分类讨论．