Question

【题目】已知椭圆 ： 的离心率为 ，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若直线 ： 与椭圆 相交于 ， 两点，在 轴上是否存在点 ，使直线 与 的斜率之和 为定值？若存在，求出点 坐标及该定值，若不存在，试说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知可得 解得 ， ，
故答案为：所求椭圆方程为 ．
（2）由 得 ，
则 ，解得 或 ．
设 ， ，
则 ， ，
设存在点 ，则 ， ，
所以 ．
要使 为定值，只需 与参数 无关，
故 ，解得 ，
当 时， ．
故答案为：存在点 ，使得 为定值，且定值为0．
【解析】（1）由已知条件得到关于a,b,c的方程组求a,b,c得到椭圆方程.
（2）将直线和椭圆方程联立成方程组，消去y，得关于x的一元二次方程，结合韦达定理将斜率和表示出来，由式子为定值求m的值.