Question

【题目】如图，四棱锥 ,底面 为菱形， 平面 ， ， 为 的中点， .

（I）求证：直线 平面 ；
（II）求直线 与平面 所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（I）证明： ，

又
又 平面 ,
直线 平面 .
（II）（方法一）连接 过 点作 于 点.

,
平面 ， .
又 ， 平面 .
所以 为直线 与平面 所成的角.
在 中， ，
直线 与平面 所成角的正弦值为
（方法二）如图建立所示的空间直角坐标系 .
.

设平面 的法向量 ，

.所以直线 与平面 所成角的正弦值为
【解析】（I）推导出AE⊥CD，AE⊥AB，从而PA⊥AE，由此能证明直线AE⊥平面PAB．
（II）（方法一）连接PE，过A点作AH⊥PE于H点，推导出∠AEP为直线AE与平面PCD所成的角，推导出直线AE与平面PCD所成角的正弦值．
（方法二）建立所示的空间直角坐标系A-xyz，由此利用向量法能求出直线AE与平面PCD所成角的正弦值．
【考点精析】本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系的相关知识点，需要掌握直线在平面内—有无数个公共点；直线与平面相交—有且只有一个公共点；直线在平面平行—没有公共点才能正确解答此题．