Question

设函数f（x）=x³+2ax²+bx+a，g（x）=x²-3x+2，其中x∈R，a、b为常数，已知曲线y=f（x）与y=g（x）在点（2，0）处有相同的切线l．
（1）求a、b的值，并写出切线l的方程；
（2）求f（x）的单调区间与极值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）分别求出两个函数的导函数，结合f（2）=g（2）=0，f′（2）=g'（2）=1联立方程组求解a，b的值，由直线方程的点斜式求得切线方程；
（2）把（1）中求得的a，b的值代入f（x）的解析式，由导函数的零点对定义域分段，根据导函数在各区间段内的符号判断原函数的单调性，并由此求得极值点，得到函数的极值．

解答： 解：（1）∵f（x）=x³+2ax²+bx+a，g（x）=x²-3x+2，
∴f'（x）=3x²+4ax+b，g'（x）=2x-3，
由于曲线y=f（x）与y=g（x）在点（2，0）处有相同的切线，
故有f（2）=g（2）=0，f′（2）=g'（2）=1．
由此得

8+8a+2b+a=0 12+8a+b=1

，
解得：

a=-2 b=5

．
∴a=-2，b=5，
∴切线l的方程为x-y-2=0；
（2）∵a=-2，b=5，
∴f（x）=x³-4x²+5x-2，
f'（x）=3x²-8x+5=（x-1）（3x-5），
当x∈（-∞，1），（

5

3

，+∞）时，f′（x）＞0，
当x∈（1，

5

3

）时，f′（x）＜0．
∴函数f（x）的单调增区间为（-∞，1），（

5

3

，+∞），
单调减区间为（1，

5

3

）．
极大值为f（1）=0，极小值为f(

5

3

)=-

104

27

．

点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，过曲线上某点的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，考查了利用导数求函数的单调区间与极值，是中档题．