Question

若命题P：函数f（x）=x³-ax-2在区间（1，+∞）内是增函数；则命题P成立的充要条件

 

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Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：导数的综合应用,简易逻辑

分析：求f′（x）=3x²-a，根据条件：函数f（x）在区间（1，+∞）内是增函数，得到x∈（1，+∞）时，f′（x）≥0恒成立，这样即可得到a≤3x²恒成立，所以求3x²在（1，+∞）上的最小值即得a的取值，得出的a的取值便是命题P成立的充要条件．

解答： 解：f′（x）=3x²-a；
∵f（x）在（1，+∞）内是增函数；
∴3x²-a≥0在x∈（1，+∞）内恒成立，即a≤3x²恒成立；
∵x∈（1，+∞）时，3x²＞3，∴a≤3；
即a∈（-∞，3]；
∴命题P成立的充要条件是a∈（-∞，3]．
故答案为：（-∞，3]．

点评：考查函数的单调性和函数导数符号的关系，充要条件的概念．