Question

函数f（x）=（1+x-

x2

2

+

x3

3

-

x4

4

+…-

x2012

2012

+

x2013

2013

-

x2014

2014

+

x2015

2015

）•sin2x在区间[-3，3]上的零点的个数为（　　）

• A、3
• B、4
• C、5
• D、6

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：在区间[-3，3]上，y=sin2x的零点为0，±

π

2

，当x=-1时，1+x-

x2

2

+

x3

3

-

x4

4

+…-

x2012

2012

+

x2013

2013

-

x2014

2014

+

x2015

2015

为零，即可得出结论．

解答： 解：在区间[-3，3]上，y=sin2x的零点为0，±

π

2

，
令g（x）=1+x-

x2

2

+

x3

3

-

x4

4

+…-

x2012

2012

+

x2013

2013

-

x2014

2014

+

x2015

2015

，
则g′（x）=1-x+x²-x³+…+x²⁰¹⁴，
当x=-1时，g′（x）＞0；
当x≠-1时，在区间[-3，3]上，g′（x）=1-x+x²-x³+…+x²⁰¹⁴=

1-(-x)2015

1+x

=

1+x2015

1+x

＞0恒成立，
∴函数是单调递增函数，
当x→+∞时，1+x-

x2

2

+

x3

3

-

x4

4

+…-

x2012

2012

+

x2013

2013

-

x2014

2014

+

x2015

2015

→+∞，当x→-∞时，1+x-

x2

2

+

x3

3

-

x4

4

+…-

x2012

2012

+

x2013

2013

-

x2014

2014

+

x2015

2015

→-∞，故有一个零点，
故共有4个零点，
故答案为B．

点评：本题考查函数的零点，考查学生的计算能力，比较基础．