Question

如果函数f（x）满足：对定义域中的任意三个数a，b，c，都有f（a），f（b），f（c）是一个三角形三边的长，则称f（x）为“三角形函数”．在函数①y=|x|；②y=2^x；③y=x+

1

x

（1≤x≤2）；④y=4x³-3x²+2（0≤x≤1）中，“三角形函数”的个数是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用

分析：求出函数的值域，通过值域判断函数是否是“三角形函数”．

解答： 解：①y=|x|；
函数的值域为[0，+∞），不妨f（a）=1，f（b）=10，f（c）=100，∵f（a）+f（b）＜f（c），
显然f（a），f（b），f（c）不可能是三角形的三条边，①不正确．
②y=2^x；与①类似，设a=b=1，c=3，则f（a）=2，f（b）=2，f（c）=18，
∵f（a）+f（b）＜f（c），
∴f（a），f（b），f（c）不能构成三角形的三边，②不正确；
③y=x+

1

x

（1≤x≤2）；y∈[2，

5

2

]，任意三个数a，b，c，都有f（a），f（b），f（c）满足两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，f（a），f（b），f（c）是一个三角形三边的长，满足题意．③正确；
④y=4x³-3x²+2（0≤x≤1）中，y′=12x²-6x，令y′=0，可得x=0，x=

1

2

，
∵f（0）=2，f（

1

2

）=

7

4

，f（2）=3，
∴y∈[

7

4

，3]，
任意三个数a，b，c，都有f（a），f（b），f（c）满足两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，f（a），f（b），f（c）是一个三角形三边的长，满足题意，④正确．
故选：B

点评：本题考查新定义的应用，三角形的判断以及函数的值域，考查计算能力．