Question

向量

OA

与

OB

的夹角为θ，|

OA

|=2，|

OB

|=1，

OP

=t

OA

，

OQ

=（1-t）

OB

，|

PQ

|在t₀时取得最小值，当0＜t₀＜

1

5

时，夹角θ的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：数量积表示两个向量的夹角

专题：平面向量及应用

分析：由向量的运算可得∴|

PQ

|²=（5+4cosθ）t²+（-2-4cosθ）t+1，由二次函数可得0＜

1+2cosθ

5+4cosθ

＜

1

5

，解不等式可得cosθ的范围，可得夹角的范围．

解答： 解：由题意可得

OA

•

OB

=2×1×cosθ=2cosθ，

PQ

=

OQ

-

OP

=（1-t）

OB

-t

OA

，
∴|

PQ

|²=

PQ

2=（1-t）²

OB

2+t²

OA

2-2t（1-t）

OA

•

OB

=（1-t）²+4t²-4t（1-t）cosθ
=（5+4cosθ）t²+（-2-4cosθ）t+1
由二次函数知当上式取最小值时，t₀=

1+2cosθ

5+4cosθ

，
由题意可得0＜

1+2cosθ

5+4cosθ

＜

1

5

，解得-

1

2

＜cosθ＜0，
∴

π

2

＜θ＜

2π

3

故答案为：(

π

2

，

2

3

π)

点评：本题考查数量积与向量的夹角，涉及二次函数和三角函数的运算，属基础题．