Question

若a=

∫

2 1

（x-

1

x2

）dx，则（x-

a

x

）¹⁰的展开式中常数项为

 

．

Answer 1

考点：二项式定理的应用,定积分

专题：二项式定理

分析：根据微积分基本定理求得a的值，求出二项式展开式的通项公式，再令x的系数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．

解答： 解：由于 a=

∫

2 1

（x-

1

x2

）dx=（

1

2

x2+x-1）

|

2 1

=1，则二项式（x-

a

x

）¹⁰=（x-

1

x

）¹⁰，
它的展开式的通项公式为 T_r+1=

C

r 10

•（-1）^r•（x）^10-r•x^-r
令x的幂指数10-2r=0，解得 r=5，
故二项式（x-

1

x

）¹⁰展开式中常数项是 -

C

5 10

=-252，
故答案为：-252．

点评：本题主要考查微积分基本定理，二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．