Question

直线x=t与函数f（x）=

1

4

x²+2，g（x）=ln（x+1）的图象分别交于A，B两点，则|AB|的最小值为（　　）

• A、

  9

  4

  -ln2
• B、

  9

  2

  -2ln2
• C、

  9

  2

  -ln2
• D、

  9

  4

  -2ln2

Answer 1

考点：两点间距离公式的应用

专题：直线与圆

分析：设函数y=f（x）-g（x）=

1

4

x²+2-ln（x+1），则y′=

1

2

x-

1

x+1

=

x2+x-2

2(x+1)

，x＞-1，由此利用导数性质能求出|AB|的最小值．

解答： 解：设函数y=f（x）-g（x）=

1

4

x²+2-ln（x+1），
则y′=

1

2

x-

1

x+1

=

x2+x-2

2(x+1)

，x＞-1，
由y′＞0，得x＞1，由y′＜0，得-1＜x＜1，
∴当x=1时，y=f（x）-g（x）=

1

4

x²+2-ln（x+1）的最小值为：

1

4

+2-ln2=

9

4

-ln2．
∴|AB|的最小值为

9

4

-ln2．
故选：A．

点评：本题考查两点间距离的最小值的求法，是中档题，解题时要注意导数性质的合理运用．