Question

（本小题满分12分）设函数．
（Ⅰ）若函数在定义域上是单调函数，求的取值范围；
（Ⅱ）若，证明对于任意的，不等式．

Answer 1

（I）当时，在上为单调函数.
（II）见解析。

本试题主要是运用导数研究函数 单调性和证明不等式的运用。
（1）因为
要使在上为单调函数只须在上或恒成立，
转化为恒成立思想求解。
（2）因为时，
设
，结合导数判定结论。
（I）解：
要使在上为单调函数只须在上或恒成立，
若，则，在上有最大值 ∴只须则
若，则，在上，无最小值故满足的b不存在.
由上得出当时，在上为单调函数.
（II）时，
设

当时    ∴函数在上为减函数
    ∴当时，，即
   ∴，∴
∴